Может кто подсказать такой вопрос Делал регистрацию в Оше, но бумажку с регистрацией выкинул (случайно) Нужно ли мне заново делать регистрацию? Или в базе я присутствую и этого достаточно?

Вам может понадобиться бумажка регистрации для оформления всяких штук. Талон регистрации можно восстановить в том же ЦОНе, где получали.

Банки требуют оригинал регистрации.

В базе Вы есть, но и в бумажном виде регистрация нужна. Если надо будет решить какие-то вопросы в банках, там спрашивают регистрацию. В некоторых, могут поверить на слово и с Ваших слов забить адрес регистрации, а в некоторых, необходимо предъявить бланк регистрации.