если мама с детьми прилетает/улетает на/с Кипра, могут на здешней таможне спросить доверенность на вывоз детей от отца? Знакомые говорят требовали.У нас даже внж нет.

У российских туристов не спрашивают, про остальных не знаю. Если вся семья граждане России , то при вылете из России с одним из родителей не нужно разрешений, это уже несколько лет. При вылете с Кипра с одним из родителей не спрашивают, но бывают единичные случаи, в основном с маленькими детьми. У моих знакомых спросили один раз за 10 лет. Спросили где отец, показали , что стоит провожается их. Попросили помахать рукой. Из случаев, просили маму позвонить отцу и спросили устно, разрешал ли он ехать. Чтобы не пустили, таких случаев не было. Кто-то перестраховывается и делает у мухтариса местного Доверенности для кипрской стороны. Для граждан других стран свои правила. У меня ни разу не спрашивали, хотя до ковида на все каникулы летала с ребёнком без мужа.