Не могу записаться на прием на сайте bishkek. kdmid. ru/ Календарь не активен и не дает не то что выбрать дату, а даже сменить месяц. Как поступить в этом случае?

Никак, ждать свободное окно, это займет время. Проверяйте каждый день.

Ждать и проверять каждый день. Заложить примерно месяц до момента, когда появится окошко. Хотя может и три месяца пройти)