если рейс идёт с пересадкой, то нужно ли договариваться на втором самолёте тоже на счёт собаки или только один раз?

Один раз при посадке, дальше просто багаж перекладывают из одного самолета в другой.

Если это стыковочный турки-турки, то не нужно.