Кто-нибудь ставил удаленно апостиль на российские документы? Как это делается без возвращения в страну?

Через доверенность. Удалено апостиль получить не получится, физическое присутствие либо вас нужно, либо доверенного лица. Доверенность можно сделать в консульстве, по записи. Свидетельство о браке можно через МФЦ например, диплом история другая, через министерства образования, можно по всей стране. На счёт свидетельства о рождении пока не разобрали, но тоже интересно.