Если в Армении гражданам РФ можно находиться 180 дней в год, если я пересёк границу, к примеру с Грузией, и вернусь обратно в Армению эти 180 дней начнутся с начала?

Можно выехать на сутки, чтобы сменилась дата и въехать обратно:)

Можно. пересекаете любую границу и можете обратно возвращаться. если будете иметь регистрацию в Армении, то можете оставаться там без ограничений по времени.