Подскажите, пожалуйста, если просрочить легальный срок нахождения в Казахстане и улететь на 45ый день из страны, выпустит ли паспортный контроль в аэропорту?

Попросите гостиницу, чтобы прислали подтверждение об уведомлении - его с qr-кодом они скачают в том же приложении, в котором отправляли. Если действительно уведомили - срок автоматически продлен до 90 дней.

Вы легально находиться 90 дней можете. Просто нежелательно без реги, чтобы не было вопросов.