Какие нужны бумаги для вылета и для прилёта из Алматы с пересадкой в Шардже и посадкой в Коимбаторе? Виза, сувидха, пцр, бронь отеля, бронь обратных билетов, мед страховка, что-то ещё? Всё это смотрят и спрашивают?

Медстраховка не обязательна - по Вашему желанию.

Индийские пограничники обязательно спросят визу, паспорт, и миграционную карточку (её выдают в самолёте, туда надо вписать ручкой какие-то базовые вещи типа номера паспорта и города назначения). могут спросить, а могут и не спросить: ПЦР, сувидху, бронь обратных билетов. НО ПЦР и сувидху очень часто спрашивает авиакомпания при регистрации на рейс, поэтому их надо делать Мед страховки нет в списке требований точно. Бронь отеля полезна "на всякий случай". Может в аэропорте по ней получится сделать симку (но за Коимбатор не уверен)