А как квартиры снимают в Бишкеке? Под честное слово или составляют какие-то договоры? Просят ли залоги за первый/последний месяц? Есть риелторы которые занимаются этим за комиссию?

Как и везде, как в РФ и в любой другой стране. Договор подписывают.

Залог как правило есть. Договора есть... Но они наминальные. Так как налог ни кто не хочет платить в виду того, что многие на эти деньги живут.