Подскажите, можно ли сделать доверенность в Батуми сразу на русском языке?

Это невозможно. Незаконно. Сразу на русском можете в вашем консульстве в Тбилиси.

Только в консульстве в Тбилиси и заверяет её не нотариус, а консул. Только так. Но, зато она будет без проблем в России действовать.