Подскажите, можно ли сделать транзитную визу в аэропорту Индии ? Или же есть какой-то вариант быстрого оформления и оплаты визы ?

Самое быстрое - обычная электронная виза. Делают за один день, никуда ходить не надо. Можно выбрать на 30 дней, на год или на 5 лет. С ней можно и транзитом , и выйти в город (но только в крупных аэропортах! Для других точек транзита нужна обычная бумажная транзитная виза)