Подскажите, пожалуйста, что делать с трудовой книжкой если она остаётся в РФ у работодателя, не увольняюсь), просто копию заверенную можно будет предоставить? И она нужна только на КП или в МВД тоже? Или она вообще не нужна?

Не нужна.

Сделайте копию заверенную. Нужна !

Трудовая может косвенно является доказательством того, что вы намерены Израиль сделать центром своей жизни.

Можно работодателю написать заявление о переходе на электронную трудовую книжку. После этого бумажную вам на руки отдают. Ну и если что потом дистанционно легче уволится будет.

Можно заверенную копию, будут ли смотреть зависит от консула, у нас даже дипломы не просили.