Подскажите пожалуйста в каком банке можно открыть карту с русским паспортом?

Тут есть ВТБ , можно там поинтересоваться.

Это непросто, нужно ВНЖ или трудовой договор или договор аренды жилья, причем каждый банк по-своему. Ищите подробную информацию.

Попробуйте Арарат банк, подала туда только с заграном. Пока ответ не пришёл, но по крайней мере приняли доки.