Подскажите, если я получу визу С в России на 6 месяцев с пребыванием 3 мес в Болгарии и заеду в Болгарию через Стамбул, то для продления оставшихся 3 месяцев надо выехать в Стамбул или в Россию?

По объему правилу все визы оформляются в России для граждан РФ. Но если у вас есть ВНЖ третьей страны (к примеру, Турции, Беларуси и т. д.), то вы можете получить визу и там, в местном консульстве.