Подскажите, пожалуйста, сколько реально времени лучше закладывать на поиск жилья в Грузии?

По 2-3 недели не могут найти ничего (в Тбилиси) .

Если в Батуми и ваши пожелания не специфичны, а вполне стандартны и бюджет от $500 вас не пугает. То думаю за неделю реально вполне найти, даже с учетом что сейчас приехало много людей и уже заселилось.