Скажите, пожалуйста, после 15 дней в Узбекистане я должен на полгода где-то зарегистрироваться или можно дальше жить в отеле по отельной регистрации?

Можно по отельной жить сколько хотите. Если переезжаете. В случае проживания менее трёх дней в каждом из нескольких населённых пунктов. При перемене адреса пребывания в Узбекистане на сутки и более (поездка в гости, путешествие), если срок пребывания иностранного гражданина в каждом конкретном населённом пункте республики не превышает трёх суток, при наличии документов, подтверждающих факт пребывания (документы, подтверждающие получение услуг или приобретения товаров), они освобождаются от регистрации.

Можно и так и так,