Подскажите пожалуйста, если въехать в Азербайджан как турист, прожить 90 дней, потом выехать и снова там через денёк заехать, эти 90 дней обнулятся и пойдут снова? я просто хочу переехать туда минимум на год, но у меня нет для этого весомых причин.

Да можно.

Проблема в том, что с гражданством РФ вы сможете выехать из Азербайджана в РФ по сухопутке, а назад уже не сможете въехать, пока границы закрыты. То есть въехать/выехать не получится, получится только вылететь/влететь.

Да, здесь многие так делают. По умному это называется визаран). Даже люди кооперируются и совмещают приятное с полезным.