Подскажите, это нормально вообще что лэндлорд просит трудовой договор прислать ему с суммой зп для заключения договора аренды?

Просить может. кто то письмо от работодателя просто просит. у каждого свои интересы. у него заключить сделку и быть уверенным в арендаторе. письмо - обычная практика. давать или нет ваше право. спросите зачем, предложите альтернативы. я говорил, что я сам работодатель и вопрос снимался без документов.

Нормально. Хочет быть уверены, что вы сможете оплачивать аренду. В ЕС это частая практика, но Кипре только начинают вводить.