А можно ли где-нибудь открыть карту без трудового договора в Сербии?

Можно, поштанска, экспо, альта.

Были в поштанска, карту можно открыть только если есть работа или жилье. А вот счет оформить можно.

Ещё API. Учтите, что экспо открывает около месяца. Поштанска откроет счёт, но карту выдаст только с трудовым договором.