Пересекли границу, нигде не регестрируясь и не останавливаясь. В Алмате были в субботу 1окт. Жильё нашли только 3окт. нас пошли регистрировать. Принимающая сторона сказала, что у нас просрочка и мы должны заплатить за регистрацию... Правда ли?

Да. принимающей стороне выписывают штраф, если не зарегистрировали в течение 3 дней со дня прибытия. По идее. Если к ним вы только добрались, то можно попробовать поспорить с миграционкой.

Прибытие это проблема не ваша, а принимающей стороны. Ваша проблема только регистрация, которую вы должны осуществить в течении 30 дней, если планируете оставаться далее.