Подскажите пожалуйста, собираюсь приехать в Белград, сначала остановиться в отеле, и найти квартиру , после того, как сниму квартиру, нужно ли регистрироваться?

Если спустя пару дней- нет если вам нужен будет белый картон для банка/внж, делаете визаран(выезд и вьезд), оформляете новый белый картон.

Да, как снимете квартиру собственник вас должен регистрировать. Если договор аренды заключаете у нотариуса, тогда можете сами себя в полиции регистрировать (сегодня устно полицейский это озвучил мне и собственнику, ознакомившись с договором, буду пробовать в следующий раз сам).