Подскажите пожалуйста, можно обратиться в какой-нибудь банк Тбилиси, где не откажут в оформлении карты с паспортом РФ?

Только паспорт нужен ?

@Альбина: Нужно придти в банк, заплатить fee в 50 лари, сфотографировать бумажку, подтверждающую факт оплаты. Зайти на сайт банка и заполнить форму.