Записался на шенген в Венгрию, собрал все доки, кроме прописки. Пошел прописываться. Когда пришел с документами( договор аренды, икамет)

Нереально, но попробуйте электричество, там можно внести депозит, и они распечатают счет вперед. Все остальные только через месяц.

Счета можете сейчас делать, электричество, вода, прописка для этого не нужна, с хозяйкой за день в нюфусе реально старых выписать, вас вписать.