Скажите пожалуйста, кто проезжал в азербайджан с документами о родстве, они их как- то проверяют или просто бумажки смотрят?

Смотрят соответствие ваших данных и данных граждан (родственников) Азербайджана.

Глазами документы (фото, копии). При сомнениях могут и позвонить родственникам.