Кто знает, можно ли на сайте эмирэйтс купить билет, если карта российская?

Нельзя.

Говорят как-то можно, оформить билет, а потом написать в представительство и они скинут платежку.

Я купила через агрегатор

Можно написать в Московский офис, они пришлют платёжку, комиссия примерно +15%. Возможно вам лучше купить через агрегаторов, например aviasales.