Подскажите можно ли официально по тк устроиться из Армении в организацию в России?

Если в компании электронный документооборот и есть усилиенная квалифицированная эцп у вас - то да.

Да, только в трудовом договоре пропишите, что работа удаленная.

По логике да. Многие крупные компании в РФ полностью стали переходить на электронный формат трудоустройства через госуслуги. Как вариант - есть прога adobe fill and sign, в которой вы можете создать электронную подпись и подписывать документы удаленно. Я так делала пару месяцев назад.