В самой Армении можно получить загранпаспорт в посольстве и ездить в Грузию?

Да.

Можно, но запись на 3-4 месяца вперед будет и получать будете еще 3-4 месяца.

И только 5летний.

Можно, но еще надо пройти квест-запись на подачу документов. Летом люди на осень записывались.

Попробуйте в консульстве РФ в Гюмри, там не было очереди, в отличие от посольства в ереване.