Если у меня в январе срок паспорта заканчивается, я не смогу вылететь из россии в армению? Или я в армении смогу сменить там паспорт уже?

Думаю, через консульство такие вопросы можно решить.

Можно внутренним и менять в посольстве.

Смотря какого паспорта. Влететь из РФ можно по внутреннему. Жить и быть нанятым на работу тоже. Получить новый загран и так можно в сумме только через 6 месяцев (очереди), и с новой волной эмиграции будет все 8-9. Но именно жить можно, работая легально и/или сделав регистрацию на отдельном листе (редкая практика, но бывало, что уговаривали миграционную службу)

Или паспорт успеете получить в консульстве, или временный документ дадут на выезд. Выбирать вам....