В билете на автобус Владикавказ-Тбилиси указаны данные паспорта РФ (номер). Границу при этом пересекаю по загранпаспорту, паспорт РФ с собой. Могут ли возникнуть проблемы на границе?

Нет.

По идее нет, тк на границе не интересуются, на каких правах ты в том или ином автобусе едешь. Никто же не спрашивает обычно, за сколько тебя подвезли на машине через границу, когда на челноке едешь.