есть ли в Батуми специализированные магазины, где можно купить икру?

Магазин называется "беларуский дом".

В белорусском магазине все быстро разбирают, привоз товаров раз в месяц после 25-но числа. Красную икру практически не везут, только минтая трески и т. д.

В магазине Fresh fish_ka, Грибоедова 37. Там не в жестянках, а в стеклянных банках как на развес, но всегда все свежее.