можно ли оставить машину на финских номерах в России на ремонт и вернуться без машины в Финляндию?

Конечно можно.

А почему нельзя? Если допустим она сломалась и не может передвигаться. Логично, что вы её оставили, для ремонта. Русские же оставляют свои авто на долгосрочной стоянке в Хельсинки, когда в отпуск транзитом летят.