Скажите, пожалуйста, а граждане Кипра обязаны въезжать на кипр по кипрскому паспорту, или можно и по паспорту другой страны ? Есть какие-то наказание, если влетел по другому паспорту?

Как в школе, выйди и зайди нормально.

Насчет обязанностей не скажу, но лично видел, как гражданин РФ (имеющий гражданство Кипра) влетал по заграннику РФ и получил в него штамп о въезде. В качестве документа для въезда показывал пограничнику кипрский id и попросил поставить штамп в паспорт РФ, чтобы потом было удобно получить налоговое резиденство (Кипра) по штампам. Вопросов у пограничника было 0. Поставил ему штамп в паспорт РФ и отпустил.