Есть ли в парках (например в Лиманском) клещи и стоит ли опасаться их подхватить?

Парки от клещей в принципе обрабатывают.

Внутри города, скорее всего, нет. тут два раза в год ездят машины-опрыскиватели с инсектицидами, против комаров и против клещей.