Если есть неоплаченный счёт за парковку, это на границе как-то фиксируется?

Это не штраф, это счёт за платную парковку.

@Rina: Вы точно перевели что на бумаге написано? Это может быть муниципальный штраф за неоплаченную парковку. В идеале - хватать бумажку и бежать в банк, просить принять платеж наличными, без открытия счета, что было бы нереально гражданину РФ без ВНЖ. Муниципальный штраф - не так термоядерно как штраф от полиции (от камеры за превышение скорости), но лучше его оплатить и проще это сделать внутри Эстонии, даже просто попросив об этом эстонокарточного человека, с возмещением ему наличными.