А авиабилеты из Москвы до Тбилиси реально купить российской банковской карточкой?

Вполне реально

Да, сервисы типа авиасейлс вам в помощь. Больше того и обратно вы сможете ими воспользоваться и своей русской картой.

Мы покупали на сайте белавиа напрямую, не через авиасейлс. Через Минск много рейсов.