Кто-нибудь знает, можно с Сочи до Сухума на поезде доехать?

Можно. Смотрите на сайте ржд поезда и билеты.

От Адлера жд до жд Сухум поезд точно есть.

Адлер-Сухум есть поезд.

На поезде только рано утром, есть Маршрутки. Они за 2,5-3 часа довезут за 400-500 рублей с человека. В зависимости от водителя.