Подскажите, пожалуйста, если мы бронируем апартаменты на airbnb на несколько месяцев чтобы в это время спокойно искать жилье на год, мы имеем право на "квартирные"?

Платят. Снимают только в том случае, если живёте в гостинице, за которую оплачивает Клита.

Квартирные просто начисляют как корзину, никакие бумажки не требуются.

Вы проходите по датам, вы не жили в отеле (а имеется в виду, скорее всего бесплатный отель).. Не вижу препятствий для получения этого пособия.