Кто подскажет, можно ли подавать на визу D, находясь уже в Эстонии? Приехал по туристической и подаешь на D со всеми нужными документами на руках.

Можно.

Я приехал по туристической, получил временное разрешение на работу и начал работать. Ни пограничники, ни полиция ничего не сказали на это.

У меня была такая же ситуация, за исключением того, что сразу подал на внж, было ~2 месяца по визе С.