Проходя консульскую проверку в самом Израиле, паспорт выдавали сразу в МВД или через какое-то время?

Что вы называете "паспортом"? Если как в России - документ для внутреннего пользования - то это не паспорт, а удостоверение личности гражданина, теудат зеут. Играет в Израиле ту же роль, которую в России - внутренний паспорт. Выдаётся МВД, когда КП уже пройдена. Если загран - его в большом мире и называет "паспортом" - то он по правилам выдаётся МВД через три месяца по получении гражданства и по предварительной записи (ловите окошко в местных Госуслугах - My visit). Однако, если загран (даркон или теудат маавар) нужен вот прямо сразу, то вы пишите "отказ от отказа" (такая специальная форма, о ней много в чате и есть образцы), готовите объяснение, зачем вам срочно проездной документ, и, поймав окно в МайВизит, по записи приходите в МВД. Чтобы пользоваться МайВизит, нужен ваш идентификационный номер (номер удостоверения личности), потому до получения гражданства использование приложения невозможно.