Если у меня не будет карты, по Европе могу я ездить/летать?

Нет. Но документы редко проверяют.

А разве можно сдавать отпечатки на новую карту, если старая ещё не кончилась? Или про какую карту речь?

Совсем недавно летал по европе, и как раз саму карту резидента у меня проверяли авиакомпании дополнительно к паспорту, что вперед, что обратно но при этом, ездил еще между странами наземным транспортом (автобус и поезд), ни в одном из этих вариантов никто карту резидента не проверял.

Ни сдать отпечатки, ни летать вы не сможете. Отпечатки сдаются на следующий день после окончания первой карты. По вашему ние в полиции все это видят.