Правильно ли я понимаю, что без прописки мне не откроют счёт в банке, следовательно, и на внж записаться не получится?

На внж, как правило, запись получить тоже не просто, поэтому стоит заранее, насколько возможно, об этом позаботиться, ещё до того как вы выполните прочие необходимые этапы)