Подскажите, смотрю билеты из Берлина в Грецию и вижу примечание.

А разве из Берлина в Грецию нет прямых рейсов? При чем тут Будапешт? Фраза, которую вы процитировали, скорее всего стандартная. На рейсах в шенгенской зоне нет никаких контролей. Если у вас рейс с пересадкой и взят не единым билетом, то есть это фактически два несвязанных друг с другом рейса, то понятно, что вы получаете багаж с одного и регистрируете его заново на другой.

Всё верно. Паспортного контроля не должно быть, но багаж получить придется.

И заново его сдать.