Подскажите пожалуйста, откуда из Батуми могут ходить маршрутки до трабзон?

С автовокзала скорее всего, но гораздо быстрее проходить границу пешком и там уже садиться в автобус/маршрутку.

На маршрутке доезжаете до границы. Переходите пешком погранконтроль и на турецкой стороне маршруток будет, на любой вкус, до Трабзона.