Подскажите, пожалуйста, если я прилетела на Кипр через Эрджан, могу ли я путешествовать на юг по шенгену? Или могут депортировать?

Можете.

Можете. Только вылетать обратно нужно тоже из Эрджана. Вы прилетели лишь на остров Кипр. Эрджан - это аэропорт в Турецкой республике Северный Кипр. Это не Турция, это не республика Кипр, а отдельное самостоятельное государство. Южный Кипр - это совершенно другое государство - республика Кипр.