Едем в Батуми в начале октября на машине, пустят в Грузию, если у матери девичья фамилия в загран паспорте, у отца и ребенка одинаковая? правильно понимаю, что главное с собой свидетельство о браке взять, и все ок?

У меня с женой разные фамилии, у ребёнка моя - никаких вопросов по этому поводу не возникало, свидетельство о браке не спрашивали.

На грузинской границе проход такой - все пассажиры выходят из машины и идут проходить пограничников в здание. Водитель с машиной проезжает погранцов/таможню и ждёт своих уже на стоянке. Они никаких российских документов не требуют и ни о чем не спрашивают. Для упрощения можно отправить папу с ребёнком, но это только в случае, если мама владелец автомобиля.