А переписка с другом, пригласивший меня в Израиль, что с ней делать?

Оставьте ее в покое! Если вы не просите там найти вам работу или жену, чтобы остаться нелегально - все в порядке.

В вашем случае будет плохо, если вы ее удалите. Вы же жолжны где-то обсуждать вашу поездку в гости. Будет подозрительно, если вы едете к другу в гости, но нигде это не обсуждаете.