Если я подаю на NIE по старому паспорту и там мое имя написано как Olesia, а в новом будет Olesya, будет ли это являться ошибкой в документе?

Вам лучше выбрать как вы хотите быть написанной в Испании. В рф можно выбрать написание в паспорте.

У знакомого с ВНЖ были проблемы. Пришлось менять данные в NIE.

Разница в написании в документах может потом доставить неприятностей.