Подскажите, где именно нужно регистрироваться россиянам, прибывшим в Кыргызстан на срок более 90 дней? И как вообще происходит эта процедура? Нужно ли указывать причину столь длительного пребывания?

30 дней. Не 90. Регистрироваться по месту пребывания. Берёте хозяина квартиры, которую снимаете, идёте в ЦОН (центр обслуживания населения), делаете регистрацию на 6 месяцев, по истечении - продлеваете.