Как арендовать квартиру в Тбилиси, чтобы не кинули в первый раз, стоит ли идти к нотариусу, кто посоветует?

Договор подписывайте. Хотя бы в простой форме, без нотариуса. Проверяйте собственность (тут была история, как брат хозяина пришёл кого-то выселять). Можно для самозащиты писать переговоры с хозяевами. Но это для параноиков имхо.