Я когда ходила на делать прописку, предъявляла договор аренды на 10 месяцев. Подскажите, пожалуйста, получается прописка автоматически прекращается по окончании этого срока?

Иностранцу прописку надо обновлять каждые 2 года, не обновите - прекратится.

По окончанию договора собственник вас может выписать из жилья и вы об этом знать не будите, а так прописка действует два года, но лучше раз в год ее обновлять.